Richard Villems on sündinud 28. novembril 1944. aastal Pärnus. Pärast Pärnu 2. keskkooli lõpetamist 1962. aastal astus ta, järgides perekondlikku erialalist järjepidevust, Tartu ülikooli arstiteaduskonda ja lõpetas selle 1968. aastal. Valiku tegemisel olid eeskujuks kirurgist vanaisa, arstist tädi ja neurokirurgist onu. Aastatel 1968–1971 jätkas ta Tartu ülikooli juures aspirandina ning 1972 kaitses meditsiinikandidaadi väitekirja biokeemia alal. 1984. aastal kaitses Richard Villems Moskva ülikooli juures bioloogiadoktori väitekirja, 1987 omistati talle professorikutse.
Eesti teaduste akadeemia liikmeks valiti Richard Villems 1987. aastal biofüüsika alal. Aastatel 1994–1999 oli ta akadeemia asepresident ja astronoomia ja füüsika osakonna juhataja ning aastatel 2004–2014 Eesti teaduste akadeemia president.
Pärast ülikooli lõpetamist töötas Richard Villems Tallinna sadamahaiglas ja Pärnu linnahaiglas. Aastatel 1970–1977 oli ta Tartu ülikooli teadur (1972–1973 Akademgorodokis Novosibirskis, 1975–1976 Uppsala ülikoolis), 1977–1980 Eesti TA füüsika instituudi teadur (1977–1978 Edinburgi ülikoolis), 1981–1986 Eesti TA keemilise ja bioloogilise füüsika instituudi vanem- ja peateadur, 1987–1992 Tartu ülikooli molekulaargeneetika professor, 1993–1997 molekulaarbioloogia professor, 1997–2004 evolutsioonilise bioloogia professor, alates 2004 arheogeneetika professor. Richard Villems on Eesti biokeskuse üks loojaid ja aastatel 1986–2014 selle direktor, 2014–2020 juhtivteadur. Käesoleval ajal on ta Eesti biokeskuse populatsioonigeneetika professor ning molekulaar- ja rakubioloogia instituudi evolutsioonilise bioloogia õppetooli juhataja ja arheogeneetika professor.
Richard Villemsi uurimistöö peasuundadeks on olnud molekulaarbioloogia, molekulaarevolutsioon ja populatsioonigeneetika. Koos legendaarse akadeemik Artur Linnuga alustas ta 1960. aastate lõpus molekulaarbioloogia alase teadus- ja õppetöö arendamist Tartu ülikoolis, mis viis Tartu molekulaarbioloogia koolkonna kujunemiseni. Tema esimesteks uuritavateks olid RNA-valgud ja ribosoomid. 1970ndatel vahetas ta uurimissuunda ning läks üle geenitehnoloogiatele ja kloneerimisele. Edinburgi ülikoolis tegeles ta bakterite plasmiidide struktuuri uurimisega. 1995. aastast keskendus Richard Villems evolutsioonilise bioloogia suunale, millest on välja arenenud arheogeneetika professuur. Erilist tähelepanu on pälvinud tema teaduspublikatsioonid rahvaste põlvnemisest ja rännetest erinevatel ajaloo etappidel, meie geneetilisest arengust ning sellest, kus ja millal on tekkinud erinevad mutatsioonid ja nende tagajärjel inimkonna geneetiline evolutsioon.
Akadeemik Richard Villems on olnud aktiivne ka Eesti teaduskorralduse kujundamisel, on kuulunud erinevatesse teadusorganisatsioonidesse ja -nõukogudesse – vabariigi presidendi mõttekoda, vabariigi valitsuse juures asuv teadus- ja arendusnõukogu, riigi teaduspreemiate komisjon jpt. Richard Villems on valitud mitmete teaduste akadeemiate välisliikmeks – Rootsi kuninglik teaduste akadeemia (1989), Soome teaduste akadeemia (2000), Läti teaduste akadeemia (2005), Leedu teaduste akadeemia (2006), Bashkortostani vabariigi teaduste akadeemia (2012). Teda on tunnustatud Eesti teaduste akadeemia medali (1994), Valgetähe III klassi ja Valgetähe II klassi teenetemärgiga (1998, 2006). 2000. aastal valiti ta Tartu linna aukodanikuks, 2013. aastal sai ta Eesti inimesegeneetika ühingu elutööpreemia ning 2017. aastal kollektiivi juhina riigi teaduspreemia. 2020. aastal pälvis Richard Villems Eesti vabariigi teaduspreemia pikaajalise tulemusliku teadus- ja arendustöö eest.