Jüri Engelbrecht on sündinud 1. augustil 1939. a Tallinnas. 1957. aastal lõpetas ta Tallinna 7. keskkooli ja 1962. a inseneridiplomiga Tallinna tehnikaülikooli. 1968. a kaitses Jüri Engelbrecht samas tehnikakandidaadi kraadi ning pärast järeldoktori aastat Tšehhi tehnikaülikoolis Prahas asus tööle Eesti teaduste akadeemia küberneetika instituudis. 1981. a kaitses ta füüsika-matemaatikadoktori kraadi Ukraina teaduste akadeemia mehaanika instituudi juures. 1984. a anti talle professori kutse.
Pärast ülikooli lõpetamist sai Jüri Engelbrechti teadustegevus 1962. aastal alguse Tallinna tehnikaülikooli ehituskonstruktsioonide kateedris, kus tema uuringute teemaks oli rippkonstruktsioonide analüüs. Tallinna tehnikaülikooli küberneetika instituudis on Jüri Engelbrecht töötanud vanemteaduri (1969‒1986), osakonnajuhataja (1986‒1989, 1994‒2014), teadusdirektori (1989‒1994) ning mittelineaarsete protsesside analüüsi keskuse juhatajana (1999‒2015). Aastatel 2005‒2016 oli ta Tallinna tehnikaülikooli erakorraline juhtivteadur ning käesoleval ajal jätkab samas konsultandina. Aastast 2016 on ta Tallinna tehnikaülikooli emeriitprofessor.
Eesti teaduste akadeemia liikmeks valiti Jüri Engelbrecht 1990. a mehhaanika alal. Aastatel 1994‒2004 oli ta Eesti teaduste akadeemia president, 2004‒2014 asepresident ja 2014‒2019 kuulus vabaliikmena juhatuse koosseisu. Käesoleval ajal on ta akadeemias tegev välissuhete nõunikuna.
Jüri Engelbrechti uurimistöö peasuunad on matemaatiline füüsika, biomehaanika ja mittelineaarne dünaamika. Pikki aastaid oli ta seotud ka õppetööga, olles aastatel 1984‒2016 (vaheaegadega) Tallinna tehnikaülikooli professor. Ta on töötanud ka paljudes Euroopa ülikoolides (Newcastle, Surrey, Cambridge, Pariis, Aachen, Torino, Messina, Duisburg-Essen, Budapest jt). Ta on üle 250 teadusartikli, mitme monograafia, esseede kogumiku, õpiku ning paljude populaarteaduslike ja teaduspoliitiliste kirjutiste autor.
Jüri Engelbrecht on aktiivselt edendanud Eesti teadust ja koostööd teiste Euroopa riikidega. Tema algatas kvaliteedipõhise uuringute rahastamise Eestis, tippkeskuste programmi, nõustas haridus- ja teadusministeeriumi jne. Ta on üks strateegiate “Teadmistepõhine Eesti 2002‒2006” ja “Teadmistepõhine Eesti 2007‒2013” autoritest. Jüri Engelbrecht on olnud Euroopa teadusfondi (ESF) nõukogu liige, Euroopa Liidu teadusvolinikku nõustava kogu (EURAB) liige, rahvusvahelise teadusorganisatsioonide liidu (ISCU) peaassamblee liige, majandusliku koostöö ja arengu organisatsiooni (OESD) ekspert jne. Euroopa teaduste akadeemiate föderatsioonis (ALLEA) alustas ta tegevust 1995. aastal ning oli kahel ametiajal 2006‒2011 selle president. ALLEA presidendina andis ta olulise panuse Euroopa akadeemiate vaimujõu koondamisse globaalsete probleemide lahendamiseks, olgu selleks teaduseetika, teadusharidus, intellektuaalse omandi kaitse või muu üldine probleem kiiresti muutuvas ühiskonnas.
Jüri Engelbrechti on kolmel korral autasustatud Eesti Vabariigi teaduspreemiaga (1992, 2008, 2015 – teaduse elutööpreemia), A. von Humboldti teaduspreemiaga, Eesti teaduste akadeemia Nikolai Alumäe nimelise medaliga. Ta on valitud Budapesti tehnikaülikooli audoktoriks, Ungari, Läti ja Lissaboni teaduste akadeemiate välisliikmeks, Academia Europaea ning paljude teiste tunnustatud ühingute ja fondide liikmeks. Teadus- ja teaduspoliitilise töö eest on teda autasustatud Eesti, Soome, Prantsuse, Poola ja Belgia riiklike autasudega, Eesti, Bulgaaria ja Soome teaduste akadeemiate ning Tallinna tehnikaülikooli medalitega. 2020. aastal pälvis ta Eesti teaduse populariseerimise elutööpreemia.