Ain-Elmar Kaasik on sündinud 2. augustil 1934 Tallinnas haridusametniku peres. Tema lapsepõlv möödus Nõmmel ja 1953. a lõpetas ta Nõmme gümnaasiumi. Samal aastal astus ta Tartu ülikooli arstiteaduskonda, mille lõpetas 1959. aastal. Pärast neuroloogia ja neurokirurgia aspirantuuri kaitses ta 1967. a kandidaadiväitekirja peaaju ainevahetusega seotud probleemidest ning 1972. a doktoriväitekirja, milles jätkas aju uurimist, jõudes välja biokeemiasse ja bioneuroloogiasse. 1975. a anti talle professori kutse.
Ülikooli lõpetamise järel töötas Ain-Elmar Kaasik kaks aastat Põltsamaa rajoonihaiglas ning seejärel alustas 1961. a tööd Tartu ülikooli närvikliinikus, kus oli intensiivraviarst ja neurokirurg, neuroloogia ja neurokirurgia kateedri assistent, dotsent, arstide täiendusteaduskonna dekaan, professor, arstiteaduskonna prodekaan, dekaan, kateedri juhataja ja kliiniku juhataja (1984–1996). Alates 1999. aastast on ta Tartu ülikooli emeriitprofessor.
Eesti teaduste akadeemia liikmeks valiti Ain-Elmar Kaasik 1993. aastal ning aastatel 2004–2009 oli ta akadeemia asepresident.
Õpingute ajal alustatud teadusuuringud jätkusid ka töötades neurokirurgina. Tema peamised uurimisvaldkonnad on olnud vereringe ja ainevahetuse patoloogia akuutsete ajukahjustuste korral, peaaju vaskulaarne patoloogia, närvihaiguste levik, diagnoosimine ja ravi, intensiivravi probleemid. Ain-Elmar Kaasik on end täiendanud Moskva N.N. Burdenko nimelises neuroloogia instituudis ja Lundi ülikooli neuroloogia kliiniku aju-uurimise laboratooriumis, ta on opereerinud enamikus neurokirurgia valdkondades, osaledes ligikaudu 3000 neurokirurgilisel operatsioonil.
Ain-Elmar Kaasik on töötanud paljudes USA ja Euroopa ülikoolides külasprofessorina (Pennsylvania, Uppsala, Kopenhaagen, Kuopio), samuti Ameerika kirurgide kolledži Montana-Wyomingi osakonna korraldatud arstide täienduskursustel. Tema sulest on ilmunud üle 500 teaduspublikatsiooni, sh kümme monograafiat, õpikut või raamatupeatükki. Talle kuulub autoritunnistus leiutisele „Parkinsoni tõve ravimeetod“. Ain-Elmar Kaasik on olnud enamiku praegu töötavate Eesti arstide õpetaja, üliõpilaste ja kolleegide poolt kõrgelt hinnatud lektor. Tema juhendamisel on kaitstud 16 doktori- ja meditsiinikandidaadi väitekirja.
Aastakümnete jooksul on akadeemik Kaasik täitnud mitmeid ühiskondlikke, erialaseid ja administratiivseid ülesandeid. Ta on kuulunud erinevatesse üleriigilise tähtsusega kogudesse, sh teadus- ja arendusnõukogu, riigi teaduspreemiate komisjon, SA Eesti teadusfond, Eesti koostöö kogu, Eesti geenivaramu nõukogu jpt. Ta on Uppsala ülikooli audoktor, Ameerika neuroloogia akadeemia, Briti kuningliku meditsiiniseltsi, Euroopa teaduste ja kunstide akadeemia liige, Poola arstiteaduse akadeemia välisliige.
Ain-Elmar Kaasiku tööd on tunnustatud mitmete auhindadega, sh Soome neuroloogide seltsi aukirja ja Ernst Homéni medaliga (1988), Tartu ülikooli ja Ludvig Puusepa medaliga (1999), Osvald Schmiedebergi medaliga (2002) ja Eesti vabariigi teaduspreemiaga pikaajalise tulemusliku teadus- ja arendustöö eest (2003). 1998. a autasutati teada Valgetähe III klassi teenetemärgiga ning 2004. a sai ta Tartu aukodaniku austava tiitli.