Toomas Asser on sündinud 14. juulil 1954 Jõhvis. 1973. aastal lõpetas ta Nõo keskkooli ja 1979. aastal Tartu ülikooli arstiteaduskonna. Meditsiiniteaduste kandidaadi kraadi kaitses ta 1987. aastal Moskvas N. Burdenko nimelises neurokirurgia instituudis teemal „Aju verevoolu regulatsiooni küsimused ja stereotaktilised operatsioonid originaalse termokauteri kasutamisega“.
Eesti teaduste akadeemia liikmeks valiti Toomas Asser 2011. aastal. Alates 2014. aastast on ta akadeemia bioloogia, geoloogia ja keemia osakonna juhataja.
Pärast ülikooli lõpetamist asus Toomas Asser tööle Tartu ülikooli närvikliiniku assistendina. Aastatel 1988−1989 stažeeris Tohoku Ülikooli ajuhaiguste instituudis Jaapanis ning 1989−1995 töötas dotsendi ja alates 1995. aastast neurokirurgia professori ametikohtadel. Samaaegselt, aastatel 1979−2018, töötas ta Tartu ülikooli kliinikumis (varasemalt Maarjamõisa haigla) neurokirurgina, alates 2018. aastast neurokirurg-konsultandina. Tartu ülikooli juhtimises on Toomas Asser olnud tegev kõikidel akadeemilistel tasanditel: aastatel 1996−2018 oli ta närvikliiniku juhataja, 2000−2009 arstiteaduskonna dekaan, 2012–2018 ülikooli nõukogu liige. Alates 2018. aastast on Toomas Asser Tartu ülikooli rektor.
Toomas Asseri teadustöö põhisuundadeks on aju veresoonte haigused, ajuarterite aneurüsmide kirurgiline ravi, Parkinsoni tõve kirurgiline ravi, aju süvastimulatsioon, ajukasvajate patomorfoloogia ja epidemioloogia, närvisüsteemi maliigsete kasvajate diagnostilised markerid ja ravitulemust määravad tegurid.
Aktiivselt osaleb Toomas Asser ühiskondlikus tegevuses. Ta on ta Vabariigi Valitsust nõustava teadus- ja arendusnõukogu liige, Rektorite Nõukogu juhatuse esimees ja Eesti tööandjate keskliidu volikogu liige. Ta osaleb ka Euroopa kõrghariduse ja teaduspoliitika kujundamisel rahvusvaheliste võrgustike juhtorganite liikmena: on Euroopa teadusülikoolide võrgustiku The Guild juhatuse liige, Coimbra Grupi rektorite nõuandva kogu liige, Enlight võrgustiku juhtkomitee liige, CELSA ülikoolide alliansi president jpm.
Aastate jooksul on Toomas Asser panustanud paljude erialaseltside töösse, olles Eesti arstide liidu, Eesti neuroloogide ja neurokirurgide seltsi, Eesti liigutushäirete seltsi, sotsiaalministeeriumi neurokirurgia erialakomisjoni liige. Ta on olnud juhtrollides ka mitmetes rahvusvahelistes erialaorganisatsioonides, tegutsedes Euroopa neurokirurgide seltside assotsiatsiooni neurokirurgide koolituskomitee liikme ja asepresidendina, Balti neurokirurgide assotsiatsiooni juhatuse liikme ja presidendina, Euroopa eriarstide ühenduse neurokirurgia sektsiooni täidesaatva kogu ja Euroopa ajunõukogu juhtkomitee liikmena. Samuti on ta osalenud mitmete erialaajakirjade toimetuskolleegiumide töös.
Toomas Asseri tööd on tunnustatud Tohoku ülikooli medaliga (1997), Tartu ülikooli arstiteaduskonna medaliga (2009), Eesti arstide liidu aumärgiga (2009), Maailma Kultuurinõukogu aukirjaga (2011) ja Tartu ülikooli suure medaliga (2014). 2013. aastal pälvis ta Eesti Punase Risti I klassi teenetemärgi, 2019. aastal Läti Vabariigi 3. klassi tunnustusristi ning 2023. Rootsi Põhjatähe ordeni.